独立种群相互依存模型

自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存的现象是很普遍的, 本文从种群的增长规律出发, 建立模型分析了可以独立生存, 共处时又能相互提供食物的两个种群在同一环境中的发展规律. 该模型为了描述两种群之间的促进作用引入参数, 在Logistic模型的基础上进行了修改, 通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律.
       本文通过对微分方程组稳定点的分析, 求出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用. 文章最后对所有结束进行了详细的分析, 描述了各种情况的实际意义. 在合理的假设下, 说明了该模型与实际情况基本相符.

问题重述
    
模型假设
种群1和种群2在同一环境中可以相互提供食物, 但两种群都能独立存在.
种群数量随时间的变化视为连续的.
不考虑其它种群对种群1和2生存的影响.
假设种群1和2生活在一个稳定的环境中,即其固有增长率与时间无关.
资源有限的生存环境对种群的繁衍,生长有抑制作用,而且这一作用与种群的数量成正比.
符号说明
       种群在时刻的数量
          种群的固有增长率
          种群单独存在时的最大容量
                                           
模型建立
     设种群1可以独立存在, 按Logistic规律增长. 种群2为种群1提供食物, 有利于种群1的增长, 于是种群1的增长规律可以表述为:
    
参数 , 表征种群2对种群1的增长的`促进作用.
       同样通过修改Logistic模型, 引入参数表征种群1对种群2增长的促进作用, 种群2的增长规律可以表述为:
    
与式一起构成相互依存下的数学模型:
     

模型求解
 容易求得方程的平衡点为:
 ,    ,  ,

将式化为一阶近似线性系统:
  
判断各平衡点的稳定性:
:  ,   , 
特征方程为, 两特征根同号且都大于0, 固不是稳定点.
 :  易求得特征根为:  ,  
两特征根异号,  故不是稳定点.
:  两特征根为:  ,     异号,  固其不是稳定点.
: 

令,  要使此平衡点有意义, 需满足条件,  当满足时,  A的特征方程为:

易求得以上方程
且其两根   , 
           .

是稳定点(在条件下)
模型求解
 求得模型有一个稳定点 ,
当时,  为,  这时实际上是只有种群1为种群2提供食物, 促进其生长, 而种群2对种群1则没有促进作用.
     显然此时种群1的极大容量与其单独存在时一样为.
     而由于种群1对种群2的增长的促进作用, 种群2的极大容量将增长为 .
同理当时, 模型意义与此相同.
当时, 为, 即种群1和种群2相互之间没有促进作用, 此时相当于种群1和2独立生存, 各自达到其最大容量和.
当和都不为0时, 为  ,
,  , 即由于相互对对方增长的促进作用, 使两种群的最大容量都大于各自单独存在时的容量.
令
则.
∴递增, 即对于种群1的极大容量, 它是随着的增大而递增的.
      其实际意义也很明显, 种群2对种群1增长的促进作用越大, 种群1所能达到的最大数量就越大.
      同样, 对于种群2来说, 种群1的促进作用也有类似的效果, 这是符合实际的.
要使稳定点有意义, 必须满足条件: , 这表明在这个模型中, 不会存在种群1对种群2和种群2对种群1的促进作用都很大的情况.
参考文献
    <<数学建模的理论与实践>>   吴翊 吴孟达 成礼智 国防科技大学出版社