求二次函数关系式的技巧
求二次函数的关系式,是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式,可使许多问题迎刃而解,怎样求二次函数的关系式呢?有什么技巧呢?现举例说明如下.
一、用二次函数的性质求
例1 已知某二次函数的图像关于y轴对称,且过点(0,8),其形状和y=2x2+3x+5的图像形状相同,位置不同,开口方向相反.求此二次函数的关系式?
分析与解:此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状,只要其绝对值相等,其形状就形同,二次项系数的正负决定它的开口方向,二次项的系数是正数,则图像开口向上,是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置:开口向上时,一次项的系数增大,图像向左平移,一次项的系数减小,图像向右平移;开口向下时,一次项的系数增大,图像向右平移,一次项的系数减小,图像向左平移;一次项的系数为零时,图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识,不难知道,本题中的二次函数的二次项系数为负2,一次项系数为0,常数项为8,所以此二次函数的关系式为y=-2x2+8.此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.
二、用一般式求
例2 已知某二次函数的图像过点(0,0),(1,-6)和(2, -8).求此二次函数的关系式.
分析与解:此函数的图像过点(0,0),说明其常数项为0,所以,可设其函数关系式为:y=ax2+bx,把点(1,-6)和点(2,-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b,这二个方程组成方程组,解之可得:a=2,b=-8.所以此函数的表达式为y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐标与图像的关系,推出常数项为0,使列的方程组较简便.
三、用顶点式或两根式求
例3 已知某二次函数过点(1,0),(5,0)和(3,8).求此二次函数的关系式.
1. 用顶点式求
分析与解:仔细观察,不难发现,给出的三个点的横坐标分别是1,3,5.其中3恰好在1和5的中间,根据二次函数图像的对称性可知,3就是它的顶点横坐标,那么(3,8)就是它的顶点坐标,所以此题也可用顶点式来求,设它的'关系式为:y=a(x-3)2+8.把点(1,0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2,所以此二次函数的关系式为y=-2(x-3)2+8,化为一般形式为y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于:利用二次函数的对称性,发现(3,8)是顶点坐标,利用顶点式求解,又快又对.
2.用两根式求
分析与解:仔细观察还可发现,点(1,0),(5,0)都在x轴上,所以还可用两根式求解,设y=a(x-1)(x-5),把点(3,8)代入此关系式得8=a(3-1)(3-5),解得a=-2,所以此二次函数关系式为y=-2(x-1)(x-5).化为一般形式为y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是:仔细观察,发现两根,再用两根式求解.
四、用实际问题中的数量关系求
有些问题无法用上面的方法求函数关系式,但是可利用题中的数量关系求出其函数关系式,再进一步用二次函数的有关知识求解.常见的有以下两种情况.
1.有关商品销售的问题
例4 已知某商场销售某商品,该商品的进价是每件90元,调查发现,若定价为每件100元,每天可售出500件,在此基础上,价格每上涨1元,每天就少售出20件,求定价为多少元时,每天获得的利润最多?为多少元?
分析:本题无法用上面的关系求关系式,但可根据题中的数量关系求出二次函数关系式,本题中的数量关系是:日利润=每件的利润×日销售的件数.
解:设定价为每件x元时,日获利为y元,由题意得:
y=(x-90)[500-20(x-100)]
=-20x2+4 300x-225 000
=-20(x-107.5)2+6 125
所以当x=107.5时,y有最大值6 125,即每件定价为107.5元时,日获利润最多,为6 125元.
2.有关面积的问题
例5 用100米长的篱笆,围一个矩形鸡舍,求长和宽各为多少时,鸡舍的面积最大,最大面积为多少平方米?
分析:此题根据长×宽=面积.即可求出二次函数关系式.
解:设长为x米时面积为y米.由题意得
y=(100÷2-x)x
=-x2+50x
=-(x-25)2+625
所以,当长为25米时,面积最大,最大面积为625平方米.此时,宽为100÷2-25=25米,即此时为正方形.
以上几种方法和技巧,是求二次函数关系式常用的方法和技巧,学会上面的方法和技巧,做二次函数问题时会又快又对,望各位同学认真学习以上方法和技巧,真正理解其精髓,达到能灵活运用和熟能生巧的程度,那么您的中考成绩肯定因为学习这篇文章而涨不少分数的.这是我二十多年教学经验的精华,若能认真研读,肯定受益许多!
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