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五年级寒假作业答案:奥数寒假作业答案
1.体育课上,30名学生面向老师站成一行,按老师口令,从左到右报数:1,2,3,…,30,然后,老师让所报的数是2的倍数的同学向后转,接着又让所报的数是3的倍数的同学向后转,最后让所报的数是5的倍数的同学向后转,现在面向老师的学生有多少人?
解:此题是容斥原理(包含排除、重叠问题)与奇偶分析的综合题。低年级的孩子可以用枚举的方法(容斥原理没听课,所以需要补上):
2的倍数15个:
2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30
3的倍数10个:
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30
5的倍数6个:
5、10、15、20、25、30
既是2又是3的倍数5个:
6、12、18、24、30
既是2又是5的倍数3个:
10、20、30
既是3又是5的倍数2个:
15、30
是2、3、5的'倍数1个:
30
想要最后面向老师,那么符合这样条件的学生,要么转动了0次,要么转动了2次。
结合上面的分析,应该很好理解了。
最后的结果为:
30 -(15 + 10 +6-5-3 - 2+1)+(5+3+2 - 3×1)=15人
而使用容斥原理可直接用上述式子得出。
2.对于任意一个自然数n,当n为奇数时,加上121;当n为偶数时,除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作,在操作过程中是否可能出现100?为什么?
解:231是11的倍数,操作只有两个,一个是加121,而121也是11的倍数,另一个操作是除以2(一个是11倍数的偶数的一半,仍然是11的倍数),这两个操作都无法改变得数仍然是11倍数的这一性质,即在运算过程中出现的数一定都是11的倍数,因为100不是11的倍数,所以在题目中定义的运算里是不可能出现100的。
如果将以上题目的231改变为任意一个11的倍数,包括0(要先加121,即121)和11本身,那么得数中肯定不会有100,这个结论是可靠的。但如果将231改变为任意一个不是11的倍数的数,比如1、2、3、343甚至更大,只要不是11的倍数,就会出现100,比如1,会在第105步得到100;2会在第106步得到100;而34只用了16步:
第1 步:34 ÷2 = 17 第2 步:17 + 121 = 138第3 步:138 ÷2 = 69第4 步:69 + 121 = 190
第5 步:190 ÷2 = 95第6 步:95 + 121 = 216第7 步:216 ÷2 = 108第8 步:108 ÷2 = 54
第9 步:54 ÷2 = 27第10 步:27 + 121 = 148第11 步:148 ÷2 = 74第12 步:74 ÷2 = 37
第13 步:37 + 121 = 158第14 步:158 ÷2 = 79第15 步:79 + 121 = 200第16 步:200 ÷2 = 100
那么我们能不能就说只要不是11的倍数,应用上述规则进行计算,结果中就一定会出现100呢?尽管做了可能的很多试验,这个结论是正确的,但还必须经过数学证明才能下此结论。
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