费马点
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而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”。
今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:
①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,则费马点就是这个内角的顶点。
下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C’使得AC=AC’,做∠C’AP’=∠CAP,并且使得AP’=AP, PC’=PC,即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。
则△APC≌△AP’C’(旋转的不变性)
∵∠BAC≥120°(已知)
∴∠PAP’=180°-∠BAP-∠C’AP’(平角的意义)=180°-∠BAP-∠CAP(等量代换)=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP’中(已知AP’=AP),AP≥PP’(∠PAP’<∠AP P’)
∴PA+PB+PC≥PP’+PB+ P’C’>BC’(两边之和大于第三边)=AB+AC(已知AC=AC’)
所以A是费马点。即之前的结论。
下面探讨第二种情况:
②如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
做△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点(如图),再作一点P’,不与点P重合,连结P’A,P’B,P’C,过P’作P’H垂直EF于H。
∵∠APB=120°,∴∠PAB+∠PBA=180°-120°=60°
且∠PAF=∠PBF=90°,∴∠F=180°-(90°+90°-60°)
同理可得:∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,设边长为d,面积为S。
则S= 1/2 d (PA+PB+PC)
∵P’H ≤ P’A
∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S
又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S
同理有:2S△DP’F≤d ×P’B×S , 2S△EP’D≤d ×P’C×S
相加,得:2S(△EP’F+△DP’F+△EP’D)≤ d ×S (P’A+P’B+P’C)
又∵△EP’F+△DP’F+△EP’D=△EDF
2S×S ≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 两边同除以S,得:2S ≤ d (P’A+P’B+P’C)
把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得:
PA+PB+PC≤P’A+P’B+P’C,当且仅当P,P’重合时取到等号。
所以P是费马点,即与上述结论相符合。
经过上述的.推导,我们即得出了三角形中费马点的找法:
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初二㈢班 林贤昊
费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物家。费马一生从未受过专门的数学,数学研究也不过是业余之爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。
今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况:
①当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,则费马点就是这个内角的顶点。
下面来验证这个结论: 对三角形内任意一点P,延长BA至C’使得AC=AC’,做∠C’AP’=∠CAP,并且使得AP’=AP, PC’=PC,即把三角形APC以A为中心做旋转变换(如图)。
则△APC≌△AP’C’(旋转的不变性)
∵∠BAC≥120°(已知)
∴∠PAP’=180°-∠BAP-∠C’AP’(平角的意义)=180°-∠BAP-∠CAP(等量代换)=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP’中(已知AP’=AP),AP≥PP’(∠PAP’<∠AP P’)
∴PA+PB+PC≥PP’+PB+ P’C’>BC’(两边之和大于第三边)=AB+AC(已知AC=AC’)
所以A是费马点。即之前的结论。
下面探讨第二种情况:
②如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
做△ABC内一点P,使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,分别作PA,PB,PC的垂线,交于D,E,F三点(如图),再作一点P’,不与点P重合,连结P’A,P’B,P’C,过P’作P’H垂直EF于H。
∵∠APB=120°,∴∠PAB+∠PBA=180°-120°=60°
且∠PAF=∠PBF=90°,∴∠F=180°-(90°+90°-60°)
同理可得:∠D=∠E=∠F=60°,即△DEF为等边三角形,设边长为d,面积为S。
则S= 1/2 d (PA+PB+PC)
∵P’H ≤ P’A
∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S
又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S
同理有:2S△DP’F≤d ×P’B×S , 2S△EP’D≤d ×P’C×S
相加,得:2S(△EP’F+△DP’F+△EP’D)≤ d ×S (P’A+P’B+P’C)
又∵△EP’F+△DP’F+△EP’D=△EDF
2S×S ≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 两边同除以S,得:2S ≤ d (P’A+P’B+P’C)
把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得:
PA+PB+PC≤P’A+P’B+P’C,当且仅当P,P’重合时取到等号。
所以P是费马点,即与上述结论相符合。
经过上述的.推导,我们即得出了三角形中费马点的找法:
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶点;如果三个内角都在120度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
初二㈢班 林贤昊
费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物家。费马一生从未受过专门的数学,数学研究也不过是业余之爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。
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