矩阵三角分解开题报告范文

篇一：矩阵三角分解的探讨

在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及矩阵理论的知识，很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。经查阅发现，目前关于矩阵三角分解的应用研究不少，但对三角分解缺乏系统的研究。

矩阵三角分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法。其实质就是将系数矩阵A分解为两个三角形矩阵L和U相乘，即A=LU。

一、矩阵的直接三角分解

矩阵的直角三角分解即可以不经过消元步骤，直接将矩阵进行分解。

定义1 设A∈Rn×n，若A能分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU，则称这种分解为矩阵A的.三角分解。

（1）如果A可分解为A=LDU，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称A可作LDU分解；

（2）如果在A=LU中，L是单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，则称此三角分解为杜利特（Doolittle）分解；

（3）如果在A=LU中，L是下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称此三角矩阵为克劳特（Crout）分解。

定理1 n阶方阵A非奇异的充要条件为（或A经行、列变换后）存在LDU分解。其中L为n阶单位下三角矩阵，D为n阶非奇异对角阵，U为n阶单位上三角矩阵。

推论1 奇异矩阵不能进行LDU分解。

推论2 若矩阵A有奇异主子矩阵，则A不能直接进行LDU分解。

篇二：矩阵三角分解

第2章 线性代数方程组数值解法I：直接法

1. 矩阵

事实上，顺序Gauss消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对Axb的顺序Gauss消去过程的结果，把矩阵A分解成两个三角矩阵L与U的乘积：ALU 下面来证实这一点.依次取第 k步消元的乘法

(k)(k)

likaik (ik1,k2,,n) /akk

(k1)(k)(k)  则直接验证可知,第k步消元(aij)的结果等价于对Ak左乘Lk: aijlikakj

A(k1)LkA(k)

于是 ,经过n1步消元,应有

u11  u12  u13

u22  u23Ln1L2L1AU U (2.3.1) u33

这里U为上三角矩阵，另外，又容易直接验证Lk有下列两个基本性质：

(1) Lk的逆阵存在，且有

1

11

1l  Lk1,kk(2.3.2)

1lnk

1

(2) 逆阵Lk的乘积

1

1l21111

L1L2Ln1= =L（单位下三角矩阵）（2.3.3）

1ln1ln1

111

从而对(2.3.1)式两端依次左乘Ln1,L2,Lk可得 111

U=LU  AL1L2Ln1

L就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或称LU

分解。

ALU称为A的doolittle分解

ALULDU=LU 称为A的克劳特分解

ALDU  称为 A的LDU分解

对于于有选主元和换行步骤的Gauss消去过程，也可证明它对应于“A左乘排列矩阵P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程组（2.1节中的实例）

2 3 2x10

1  x  12  2243 1 7x3

解 把解法分为3个步骤：

①令A=LU，用Doolittle分解，即令

u11  u12  u13 2 3 21

12  2  l  lu  u212223

41u33 3  1 l31 l32

考虑A的第1行，对比右边两矩阵的乘积，有

21u11u112

31u12u123 21uu2

1313

此结果即U的第1行与A的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中，此结果也可直接写出。接着，再依次考虑A的第1列、第2行、第3列(除去已考虑过的元素)，作同样比较有

l211/21l21u11

3lu  l3/2311131

2l21u12 1u22  u221/2

2l21u13 1u23  l233

1l31u12l32u22  l327

4l31u13l32u231u33  u3328

12 3  2

1/2  11/23 即得A

128 3/2  7

②用前推过程解下三角方程组

1y10y10

1/2   y  1得 y  1 122

1 3/2  7  714y3y3

③用回代过程解上三角方程组

x12  3  2  x10 2

x  1得 x   1 1/2322

28 141/2x3x3

下面以不包括选主元和换行的Doolittle分解为例，给出解n阶方程组Axb的一般计算公式及整个求解过程（分3个步骤） ①令ALU，即令

a1n 1 u1na11 a12 u11 u12

a a l1 au u2121222n222n

l l 1a a  aun1n1n2nnnnn1

利用矩阵乘法规则,并对比等式两边对应元素,由A的第1行得

a1j1u1j  (j1，2，  ，n)a1ju1j  (j1，2，  ，n)

(2.3.5)

由A的第1列（除第1行元素外）得

ak1lk1u11  (k2，3，  ，n)lk1ak1/u11  (k2，3，  ，n)

(2.3.6)

依此类推，由A的第k列（1kn）（除前k1列元素外）得

akjlkrurjukj

r1

k1

ukjakjlkrurj (jk，，1，，n)

r1

k1

(2.3.7)

由A的第k列（1kn）（除前k列元素外）得

aiklirurklikukk

r1k1

lik(aiklirurk)/ukk (ik1，，n)

r1

k1

(2.3.8)

②求解下三角方程组Lyb得

y1b1

i1

3，，n)yibiliryr(i2，

r1

③求解上三角方程组Uxy得

xnyn/unn

n

，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，

ri1

这就是用直接三角分解法求解方程组的公式，其中第①步中的前两个公式也可合并入后两个公式；第②，③步中的前一公式也可并入后一公式，这时当公式中出现和

r10

rn1

n

时均不执行计算，作零处理

（在列主元Gauss消去法一节中已提过这个附注）。

n3

可以推出，Doolittle算法的乘除法次数大致为，与Gauss消3

去法大致相同，故就计算量而言，采用Doolittle算法解方程组并无特别优势（因为我们已拥有相当高效的列主元Gauss消去法）。应用中，主要借助直接三角分解法的处理方法来处理具有特殊情况的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追赶法和解对称正定方程组的平方根法。